体積素片にかかる力：体積力を$\vec{K}$、面積素片にかかる力：応力テンソルを$\cal P$とすると、その体積素片の変位$u$は、一般に次式で与えられる。
$$ \rho \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} = \vec{K} + \nabla \cdot {\cal P}. \tag{24} $$
成分毎に書くと、
\begin{eqnarray} \rho \frac{\partial^2u_i}{\partial t^2} = K_i + \frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}. \tag{25} \end{eqnarray}
弾性体内部のある点pにある体積素片が応力を受けてひずみが生じたとする。 ひずみ自体は次式で表される。
\begin{equation} e_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \tag{26} \end{equation}
応力ベクトル$\vec{P}$の各要素$p_{ij}$は、ひずみテンソルと
\begin{equation} p_{ij} = C_{ijkl} \ e_{kl}, \tag{27} \end{equation}
の関係を満たす。これが一般化されたHookeの式である。$C_{ijkl}$を弾性テンソルと呼び、物質に固有な値である。 また、ひずみテンソルの定義から対称性を持つので、結局独立な要素は６個だけとなる。
\begin{equation} \left( \begin{array}{c} p_{11} \\p_{22} \\p_{33} \\p_{12} \\p_{23} \\p_{31} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccccc} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1112} \\ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2212} \\ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3312} \\ C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1212} & C_{1223} & C_{1231} \\ C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2312} & C_{2323} & C_{2331} \\ C_{3111} & C_{3122} & C_{3133} & C_{3112} & C_{3123} & C_{3131} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} e_{11} \\e_{22} \\e_{33} \\2e_{12} \\2e_{23} \\2e_{31} \end{array} \right) \tag{28} \end{equation}
これが、等方性物質の場合、
\begin{equation} C_{ijkl} = \lambda \delta_{ij} \delta_{kl} + \mu (\delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} ), \tag{29} \end{equation}
と表され、各要素を書き下すと、
\begin{equation} \left( \begin{array}{c} p_{11} \\p_{22} \\p_{33} \\p_{23} \\p_{31} \\p_{12} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccccc} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda +2\mu& \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} e_{11} \\e_{22} \\e_{33} \\e_{23} \\e_{31} \\e_{12} \end{array} \right). \tag{30} \end{equation}
このとき、$\lambda, \mu$をLaméの弾性定数と呼ぶ。
ヤング率、ポアッソン比をそれぞれ、$E, \sigma$とすると、
\begin{eqnarray} E & = & \frac{\mu (3\lambda+2\mu) }{\lambda + \mu}, \\ \sigma & = & \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)}. \tag{31} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \lambda & = & \frac{\sigma}{(1-2\sigma)(1+\sigma)} E, \\ \mu & = & \frac{E}{2(1+\sigma)} \tag{32} \end{eqnarray}
ちなみに、鋼鉄の場合、
\begin{eqnarray} E & = & 2.06 \times 10^{11} \ \mbox{Pa}, \\ \sigma & = & 0.30, \tag{33} \end{eqnarray}
であるから、
\begin{eqnarray} \lambda & = & 1.188 \times 10^{11}, \\ \mu & = & 7.923 \times 10^{10}, \tag{34} \end{eqnarray}
という値を持つ。
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