準定常磁気学条件下では、基本的なMaxwell方程式から、いわゆる変位電流項が無視された方程式を支配方程式とする。 つまり、
\begin{eqnarray} \nabla \times \frac{1}{\mu} \vec{B} = \sigma \vec{E} + \vec{J}_s, \tag{5}\\ \frac{\partial \vec{B} }{\partial t} + \nabla \times E = 0, \tag{6} \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \tag{7}, \\ \nabla \cdot \vec{J} = 0, \tag{8} \end{eqnarray}
である。 ここで、$\vec{B},\vec{E},\sigma, \mu, \vec{J}_s$はそれぞれ、磁束密度、電場、導電率、透磁率、電流密度である。
式(7)から、
\begin{eqnarray} \vec{B} = \nabla \times \vec{A}, \tag{9} \\ \vec{E} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \nabla V, \tag{10} \end{eqnarray}
これらの式を式(5)に代入し、試験関数$\vec{w}$を使って弱形式を導き出すと、
\begin{equation} \int_\Omega \frac{1}{\mu} \nabla \times \vec{A} \cdot \nabla \times \vec{w}\ dv + \int_{\Omega_c} \vec{w} \cdot \sigma \left( \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} + \nabla V\right)\ dv - \int_\Omega \vec{w}\cdot \vec{J}_s\ dv = 0, \label{eq:weak_eddy_gov} \tag{11} \end{equation}
を得る。 また、電流の保存式(8)から、同様に、
\begin{equation} \int_{\Omega_c} \sigma \left( \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} + \nabla V\right) \cdot \nabla w \ dv = 0, \label{eq:weak_Jconv} \tag{12} \end{equation}
が得られる。
これで、方程式の数的には閉じているのだが、どうも収束しない。そこで、陽にゲージングをすることにする。
ただ、クーロンゲージ $$\nabla \cdot \vec{A} = 0$$を満たすベクトルポテンシャル$\vec{A}$を直接求めるのでは無く、
\[ \nabla \cdot (\vec{A} + \nabla \xi ) = 0, \]
なるスカラーポテンシャル$\xi$を数値的に求めてやる方法が存在する[参考文献 Zhu, p.85]ので利用する。
弱形式は、
\begin{eqnarray} 0 & = & \int_\Omega \omega \nabla \cdot (\vec{A} + \nabla \xi ) \ dv, \nonumber \\ & = & \int_\Omega \nabla \cdot (\omega (\vec{A} + \nabla \xi) ) \ dv - \int_\Omega \nabla \omega \cdot (\vec{A} + \nabla \xi ) \ dv, \nonumber \\ & = & - \int_\Omega \nabla \omega \cdot \nabla \xi \ dv - \int_\Omega \nabla \omega \cdot \vec{A} \ dv, \label{eq:weak_divA} \tag{13} \end{eqnarray}
を得る。ここで、$\vec{n} \cdot (\vec{A} + \nabla \xi) = 0$とした。 以上、得られた弱形式の方程式群、式(11),(12),(13)が得られた。 次に、境界条件を指定する。
\begin{eqnarray} \vec{A} & = 0 & \mbox{on $\partial \Omega$}, \\ V & = 0 & \mbox{on $\partial \Omega \cup \partial \Omega_c$}, \\ \xi & = 0 & \mbox{on $\partial \Omega \cup \partial \Omega_c$}, \end{eqnarray}
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