支配方程式と弱形式

この問題の支配方程式はいわゆるPoisson方程式、 $$\nabla \cdot (\varepsilon \nabla \psi) = \rho \tag{1}, $$ で、これを与えられた境界条件で解くという問題となる。 この方程式を弱形式に変形するには、両辺にスカラーの重み関数$w$を掛け、領域$\Omega$で積分する。

$$0 = \int_\Omega w \nabla \cdot (\varepsilon \nabla \psi) \ dv - \int_\Omega w \rho \ dv, $$

$$0 = \int_\Sigma w \ \varepsilon \nabla \psi \ ds - \int_\Omega \varepsilon \nabla \psi \cdot \nabla w \ dv - \int_\Omega w \rho \ dv, $$

この時、$w = 0$ on $\Sigma$である関数を用いる事から、第一項は消える。 つまり、解くべき弱形式、 $$\int_\Omega \varepsilon \nabla \psi \cdot \nabla w \ dv + \int_\Omega w \rho \ dv = 0 \tag{2},$$ を得る。

Galerkin有限要素法では、この弱形式を用いて離散化していく。