ここでは、熱伝導方程式を過渡解析と静解析とで解いていく。
支配方程式
\begin{equation} \rho C_p \frac{\partial T}{\partial t} + \nabla \cdot ( \kappa \nabla T ) = Q, \tag{17} \end{equation}
ここで、
$T, Q, \rho, C_p, \kappa$ はそれぞれ温度、発熱量、質量密度、熱容量、熱伝導率を示す。 いつものとおりに、この方程式を弱形式に変形していく。
試験関数$w$を両辺に掛け体積積分を課し、ベクトル演算公式を用いると、弱形式を得る。
\begin{equation} \int_v \rho C_p \frac{\partial T}{\partial t} w\ dv + \int_v \kappa \nabla T \cdot \nabla w \ dv = \int_v wQ\ dv, \tag{18} \end{equation}